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144 lines
3.1 KiB
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\documentclass[a4paper,10pt]{leaflet}
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% French language
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\usepackage[francais]{babel}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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% Hack
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\setlength{\footskip}{10cm}
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% No indentation but a wider space between the paragraphs
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\setlength{\parindent}{0cm}
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\setlength{\parskip}{2mm}
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% To include images
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\usepackage{graphicx}
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\usepackage{multicol}
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% Math extensions
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\usepackage{amsfonts}
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\usepackage{amstext}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{mathbbol}
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% Some useful shortcuts
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\newcommand{\code}[1]{\mathcal{#1}}
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\newcommand{\C}{\code{C}}
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\newcommand{\syn}[1]{\mathop{\rm{syn}}(#1)}
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\newcommand{\dimc}[1]{\mathop{\rm{dim}}(#1)}
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\newcommand{\FF}{\mathbb{F}_2}
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\newcommand{\FFn}[1]{\mathbb{F}_2^{#1}}
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\title{Codes correcteurs \\ {\normalsize \textsf{Cheat Sheet}}}
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\author{Nicolas MASSE \\ \texttt{nicolas27.masse@laposte.net}}
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\begin{document}
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\maketitle
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\fussy
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\section{Système de communication}
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\subsection{Modèle de Shannon (1948)}
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\includegraphics[width=0.9\linewidth]{general2}
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\subsection{Matrice stochastique}
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Une matrice stochastique $\mathcal{P}$ est définie par $ \mathcal{P} = (P_{ij}) $. $P_{ij} = P(y_j/x_i)$ est la probabilité de transition entre $x_i$ et $y_j$.
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\subsection{Modèles de canal}
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\begin{multicols}{2}
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\raggedcolumns
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Le \textbf{canal binaire symétrique à effacement} modélise les situations où certains symboles sont perdus.
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\begin{center}
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$ \mathcal{P} = \begin{pmatrix}
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1-p & 0 & p\\
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0 & 1-p & p\\
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\end{pmatrix}$
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\end{center}
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\includegraphics[width=0.9\linewidth]{cbse}
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\end{multicols}
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\clearpage
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\begin{multicols}{2}
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\raggedcolumns
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\textbf{Canal binaire symétrique}
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\begin{center}
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$ \mathcal{P} = \left(
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\begin{array}{cc}
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1-p & p\\
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p & 1-p\\
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\end{array}
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\right)$
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\end{center}
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\includegraphics[width=\linewidth]{cbs}
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\end{multicols}
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\subsection{Codage de source}
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Une source est équiprobable lorsque chaque séquence binaire a la même probabilité d'apparition.
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On dit alors que le codage de source est de qualité.
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\section{Théorie des codes}
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\subsection{Types de codes}
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\begin{itemize}
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\item codes linéaires
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\item codes cycliques
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\end{itemize}
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\subsection{Modes de fonctionnement}
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\begin{description}
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\item[FEC] Forward error correction
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\item[ARQ] Automatic Repeat-request
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\end{description}
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\subsection{Types d'encodage}
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\begin{itemize}
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\item encodage en bloc
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$$
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\begin{array}{ccc}
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\lbrack m_1 \ldots m_k] & \lbrack m_{k+1} \ldots m_{2k}] & \lbrack m_{2k+1} \ldots m_{3k}]\\
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\downarrow f & \downarrow f & \downarrow f \\
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\lbrack c_1 \ldots c_k] & \lbrack c_{k+1} \ldots c_{2k}] & \lbrack c_{2k+1} \ldots c_{3k}]
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\end{array}
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$$
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\item encodage convolutif
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$$
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\left(\begin{array}{c}
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c_1^{(t)}\\
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\vdots \\
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c_n^{(t)}
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\end{array}\right)
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= f \left(
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\left(\begin{array}{c}
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m_1^{(t)}\\
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\vdots \\
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m_k^{(t)}
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\end{array}\right)
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, \ldots,
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\left(\begin{array}{c}
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m_1^{(t-m)}\\
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|
\vdots \\
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|
m_k^{(t-m)}
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\end{array}\right)
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\right)
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$$
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\end{itemize}
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\subsection{Paramètres d'un code $\C$}
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Notation~: $\C[n,k,d]$
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\begin{itemize}
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\item[$\mathbf{n}$~:] nombre de bits après encodage
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\item[$\mathbf{k}$~:] nombre de bits d'information
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\item[$\mathbf{d}$~:] distance minimale
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\end{itemize}
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$\Rightarrow$ nombre de bits de redondance~: $n-k$
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\end{document}
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