\documentclass[a4paper,10pt,twocolumn]{article}

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\newtheorem{mycor}{Corolaire}

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{\textbf{#1}:}
{}

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{\end{note}}

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{\begin{note}{Exemple}}
{\end{note}}

% Metadata
\title{Devoir de Cryptographie}
\author{Nicolas MASSE \\ \texttt{nicolas27.masse@laposte.net}}
\date{2006-2007}

\begin{document}

\maketitle

\section{Preuves de sécurité}

\subsection{Question 1}
Il est possible de vérifier la signature en utilisant la signature, la clé publique et le condensé du message :
$$ P\sigma \stackrel{?}{=} A.H(m) $$

En effet, $P\sigma = P.a.H(m) = A.H(m)$.
\subsection{Question 2}
La sécurité de référence pour un schéma de signature a été présenté par \textsc{Goldwasser}, \textsc{Mirali} 
et \textsc{Rivest}. Il s'agit d'EF-CMA (Existential Forgery, Chosen Message Attack). Il s'agit de l'attaque 
la plus facile à mener pour un attaquant.

\subsection{Question 4}
Le problème calculatoire Diffie-Hellman (CDH) consiste à retrouver $g^{ab}$ à partir de $g^a$ et $g^b$.

\subsection{Question 5}
L'idée serait d'utiliser la relation $e(aP,bP) = e(P,P)^{ab}$ avec $e(P,P) = g$.

\section{Logarithme composite}
\subsection{Question 1}
On sait que $g \in \Zn{n}^{*}$; c'est à dire que $g$ est inversible. On en déduit alors que 
 $$pgcd(g,n) = 1$$
Et d'après le théorème d'Euler, on a $g^{\varphi(n)} \equiv 1 \mod n$.

On sait que $g^{\varphi(n)} = 1$. On a donc 
\begin{eqnarray*}
 g^{\varphi(n)} & = & g^0 \\
 g^{(p-1)(q-1)} & = & g^0 \\
 g^{pq-p-q+1} & = & g^0 \\
 g^{pq+1} g^{-(p+q)} & = & g^0 \\
 g^{n+1} & = & g^{p+q}
\end{eqnarray*}

\subsection{Question 2}
On sait que 
\begin{eqnarray*}
 \varphi(n) & = & (p-1)(q-1) \\
 & = & pq -p -q +1 \\
 & = & n -(p+q) +1 
\end{eqnarray*}

C'est-à-dire que si on connait $n$ et $p+q$, on connait également $\varphi(n)$.
Et à partir de $\varphi(n)$ on peut retrouver $p$ et $q$.

\begin{eqnarray*}
 \varphi(n) & = & (p-1)(q-1) \\
 \varphi(n) & = & (p-1)(\frac{n}{p}-1) \\
 \varphi(n) & = & n - p - \frac{n}{p} + 1 \\
 \varphi(n) - n + p + \frac{n}{p} - 1 & = & 0 \\
 p^2 + (\varphi(n) - n - 1)p + n & = & 0
\end{eqnarray*}

Et connaissant $p$, il est trivial de trouver $q$.

\subsection{Question 3}

Si $f > p + q$, alors il est possible d'utiliser l'algorithme A pour factoriser $n$:

\begin{eqnarray*}
g^{n + 1} & = & g^{\varphi(n) + (p+q)} \\
& = & g^{\varphi(n)} . g^{p+q} \\
& = & g^{p+q}
\end{eqnarray*}

Le calcul de $\log_{(n,g)}(g^{n+1})$ permet de retrouver $p + q$, et donc de factoriser $n$. La complexité de B est alors équivalente à celle de A.

\subsection{Question 4}

La réciproque, c'est à dire la construction de A à partir de B n'est pas vraie, la factorisation de $n$ ne suffisant pas pour obtenir le logarithme discret.


\end{document}